Associativité de la multiplication
Objectif
Ce dossier propose des situations visuelles permettant de travailler la propriété d’associativité de la multiplication à partir de configurations spatiales organisées.
Les images représentent des empilements réguliers d’objets (cartons, briques, paquets…) dont l’organisation forme toujours un pavé droit. La quantité représentée est ainsi structurée selon les trois dimensions du pavé : longueur, largeur et hauteur.
Cette organisation permet de modéliser le nombre total d’objets par un produit de trois facteurs. Pour un pavé comportant (a) objets dans sa longueur, (b) objets dans sa largeur et (c) objets dans sa hauteur, on obtient :
a × b × c
La structure du pavé permet alors d’envisager différents regroupements des facteurs :
(a × b) × c = a × (b × c)
La quantité représentée reste identique : seule la manière de regrouper les facteurs pour effectuer le calcul change. Les situations permettent ainsi de donner du sens à l’associativité de la multiplication, tout en développant des stratégies de calcul fondées sur le choix de regroupements efficaces.
Cette même organisation permet également de travailler la notion de volume d’un pavé droit. La formule :
longueur × largeur × hauteur
prend ici directement appui sur la structure de la représentation. Le produit longueur × largeur peut, par exemple, être interprété comme le nombre d’objets constituant une couche, puis ce nombre être multiplié par le nombre de couches correspondant à la hauteur.
L’organisation en pavé droit constitue ainsi un même support visuel pour travailler le produit de trois facteurs, l’associativité de la multiplication et le sens de la formule du volume d’un pavé droit.
Organisation des diaporamas
Les situations sont construites en faisant varier différentes variables didactiques, tout en conservant une organisation en pavé droit modélisable par un produit de trois facteurs.
Peuvent notamment varier les dimensions du pavé, les nombres mobilisés, la nature des objets représentés ou encore les regroupements qui rendent certains calculs plus ou moins immédiats. Ces variations permettent de proposer des configurations différentes tout en maintenant l’attention sur la structure multiplicative commune.
Les diaporamas sont organisés en deux séries :
-
Série 1 : produits relevant des tables de multiplication
→ les situations permettent de mobiliser directement les tables et d’observer que certains regroupements des facteurs peuvent faciliter le calcul ; -
Série 2 : produits dépassant le cadre des tables
→ les situations conduisent à effectuer des calculs impliquant notamment des nombres à deux chiffres, en s’appuyant sur des stratégies de regroupement et d’organisation du calcul.
Dans les deux séries, l’enjeu n’est donc pas seulement de déterminer le nombre total d’objets, mais d’identifier l’organisation multiplicative de la configuration et de choisir une manière pertinente d’effectuer le calcul.
Ce que ces situations permettent de construire
Principe fondamental : ces situations ne visent pas seulement à calculer, mais à comprendre que, dans un produit de plusieurs facteurs, la manière de regrouper les facteurs ne modifie pas le résultat.
Elles permettent de :
- comprendre la propriété d’associativité de la multiplication ;
- donner un support visuel à l’écriture (a × b) × c = a × (b × c) ;
- percevoir qu’une même quantité peut être décomposée et calculée de différentes manières ;
- développer des stratégies de calcul en choisissant des regroupements efficaces ;
- renforcer la compréhension des produits de plusieurs facteurs ;
- consolider et mobiliser les tables de multiplication ;
- passer d’un calcul effectué dans l’ordre où il se présente à un calcul organisé et réfléchi ;
- donner du sens à la formule du volume d’un pavé droit en reliant ses trois dimensions au produit longueur × largeur × hauteur.
La représentation visuelle permet notamment d’interpréter le produit de deux dimensions comme le nombre d’objets constituant une couche, puis le troisième facteur comme le nombre de couches. D’autres regroupements peuvent également être envisagés sans modifier la quantité totale.
L’associativité apparaît ainsi non comme une propriété formelle isolée, mais comme une propriété que l’organisation même de la situation permet de rendre perceptible.
Place dans les apprentissages
Ces situations s’adressent à des élèves ayant déjà une première compréhension de la multiplication.
Elles peuvent être mobilisées à différents moments des apprentissages : pour consolider les tables de multiplication, développer des stratégies de calcul réfléchi, introduire ou approfondir l’associativité, mais aussi pour aborder ou consolider la notion de volume d’un pavé droit et donner du sens à sa formule.
Elles contribuent ainsi à établir des liens entre calcul, propriétés des opérations et géométrie dans l’espace.
Le passage de la configuration visuelle à l’écriture multiplicative permet progressivement de dépasser la seule perception de l’empilement pour identifier une structure mathématique réutilisable dans d’autres situations.