Concevoir les situations visuelles
Les situations HowMany ne sont pas de simples illustrations auxquelles serait ensuite associé un objectif mathématique. Le choix des objets, leur organisation, les quantités représentées et les relations rendues perceptibles font partie de la conception didactique de la situation.
Concevoir une image consiste ainsi à déterminer ce qui sera donné à voir, ce qui pourra être organisé mathématiquement et les représentations vers lesquelles la situation pourra conduire.
Choisir ce qui est donné à voir
Une grande partie des situations HowMany utilise des objets, des signes ou des configurations facilement reconnaissables : doigts, dés, cartes à jouer, crayons, allumettes, chaises, roues, formes géométriques, etc.
Ces éléments familiers constituent un vocabulaire visuel à partir duquel peuvent être construites des situations quantitatives et relationnelles.
Le choix d'un objet n'est pas neutre. Il dépend notamment des propriétés qu'il permet de rendre perceptibles.
Une main peut être envisagée comme une unité mais également comme une organisation de cinq doigts. Une chaise constitue un objet unique comportant plusieurs éléments susceptibles d'être dénombrés. Une carte à jouer associe un nombre à une configuration organisée de symboles. Des allumettes peuvent former des figures, des groupements ou des compositions susceptibles d'être décomposés et recomposés.
L'objet quotidien n'est donc pas seulement choisi pour sa familiarité : ses caractéristiques peuvent participer à la construction de la situation mathématique.
Identifier l'unité pertinente
Une question importante dans la conception d'une situation concerne ce qui doit être considéré comme une unité.
Un dessin peut représenter un seul objet tout en donnant accès à plusieurs éléments dénombrables. Plusieurs objets peuvent, inversement, constituer un groupe susceptible d'être considéré comme une nouvelle unité.
Cette possibilité permet de jouer sur différents niveaux d'organisation : élément, groupe d'éléments, groupe de groupes, objet composé.
Elle intervient notamment dans le dénombrement, la numération et la construction des opérations.
Les premières situations HowMany peuvent ainsi installer un répertoire d'objets et de configurations simples. Ceux-ci peuvent ensuite être repris, associés ou combinés dans des situations plus complexes.
Organiser visuellement les quantités
La disposition des éléments constitue une composante essentielle de la situation.
Alignements, colonnes, constellations, organisations rectangulaires, dispositions circulaires, symétries, proximités, séparations, répétitions ou emboîtements peuvent rendre certaines relations plus perceptibles que d'autres.
Une même quantité peut ainsi être présentée de nombreuses manières.
Selon son organisation, elle pourra davantage se prêter à un comptage élément par élément, à une reconnaissance immédiate, à un regroupement, à une décomposition, à l'utilisation d'un double, d'un complément, d'une structure multiplicative ou d'une autre relation numérique.
La conception ne porte donc pas seulement sur la quantité représentée, mais sur la manière dont cette quantité est visuellement structurée.
Stabiliser et faire varier
La construction du corpus repose sur l'articulation entre des caractéristiques qui peuvent être maintenues et d'autres qui peuvent varier.
Pour un cardinal fixé, les unités visuelles peuvent changer : une même quantité peut être donnée à voir à travers des doigts, des points, des allumettes ou certaines parties d'un objet.
À l'inverse, une même famille de représentations peut être conservée tandis que varient le cardinal, la disposition ou l'organisation des éléments.
Cette articulation permet deux mouvements complémentaires :
stabiliser certaines représentations pour apprendre à les reconnaître et à les structurer ; les faire varier pour apprendre à s'en détacher.
Les ressources sont pour cette raison organisées en différentes familles d'objets et de configurations. Celles-ci permettent de travailler à la fois la familiarisation avec certaines organisations visuelles et leur confrontation avec d'autres représentations.
Des variables didactiques
Certaines caractéristiques des images peuvent être considérées comme des variables didactiques lorsque leur modification est susceptible de transformer les stratégies ou les raisonnements mobilisables.
Selon les situations, il peut notamment s'agir :
- du cardinal ;
- de la nature des objets ou des éléments représentés ;
- de l'unité que la question conduit à considérer ;
- du nombre et de la taille des groupements ;
- de la disposition spatiale ;
- du degré de structuration perceptive ;
- de l'homogénéité ou de l'hétérogénéité des éléments ;
- de la familiarité de la configuration ;
- de la présence de répétitions, de symétries ou de régularités ;
- des possibilités de décomposition ou de recomposition ;
- des informations rendues plus ou moins saillantes.
Toutes les caractéristiques d'un dessin ne constituent donc pas nécessairement des variables didactiques. Leur statut dépend de l'objectif poursuivi et de l'effet que leur modification peut avoir sur l'activité mathématique possible.
Concevoir l'image en relation avec les écritures mathématiques
La conception d'une situation visuelle ne s'arrête pas à ce que l'élève peut reconnaître dans l'image. Elle prend également en compte les représentations mathématiques auxquelles cette organisation peut être associée.
Un groupement perceptible peut être mis en relation avec une addition ou une multiplication. Une organisation en centaines, dizaines et unités peut être associée à différentes écritures d'un nombre. Une décomposition visuelle peut conduire à une écriture numérique correspondante. Une situation plus complexe peut permettre de produire plusieurs expressions traduisant différentes manières d'organiser une même quantité.
L'image peut ainsi constituer un support pour le passage d'une organisation perceptive à une représentation symbolique.
Il ne s'agit pas d'établir une correspondance mécanique entre un dessin et une écriture. La conception cherche plutôt à rendre certaines relations suffisamment perceptibles pour qu'elles puissent être identifiées, verbalisées puis représentées mathématiquement.
La possibilité de revenir de l'écriture vers l'image est également importante : une expression ou une décomposition peut être confrontée à la situation visuelle qui lui donne sens.
Ce va-et-vient entre représentations constitue l'une des dimensions prises en compte dans la conception des situations HowMany.
Une ingénierie des situations visuelles
La conception d'une image conduit finalement à interroger plusieurs dimensions conjointement :
- ce qui est représenté ;
- ce qui constitue l'unité pertinente ;
- la quantité ou la relation mathématique travaillée ;
- l'organisation spatiale des éléments ;
- les groupements et décompositions rendus possibles ;
- les caractéristiques maintenues ou mises en variation ;
- les stratégies que la situation peut rendre accessibles ;
- les écritures mathématiques auxquelles elle peut être reliée ;
- sa place par rapport aux situations qui la précèdent ou la suivent.
Ces dimensions constituent une part de l'ingénierie didactique des situations visuelles HowMany.
Le corpus n'est donc pas seulement une collection d'images représentant des objets mathématiques. Les dessins, leurs organisations, leurs variations et leurs combinaisons sont conçus en relation avec les activités mathématiques qu'ils cherchent à susciter et avec les représentations plus formelles auxquelles ils peuvent progressivement donner accès.