Premiers pas vers la modélisation
Ce thème occupe une place particulière dans la progression HowMany : il constitue un premier répertoire d’objets et de configurations visuelles à partir duquel pourront ensuite être construites et interprétées des situations plus complexes.
Chaque dessin présente ici un seul objet. La question « Combien de… ? » conduit cependant à ne pas considérer uniquement cet objet dans sa globalité, mais à identifier en lui des éléments pertinents et à leur associer une quantité : les quatre pieds d’une chaise, les cinq doigts d’une main, les quatre allumettes formant un carré, etc.
Ce passage d’un objet perçu à une propriété numérique constitue un premier acte de modélisation : certaines caractéristiques de l’objet sont momentanément écartées pour en retenir une organisation quantitative susceptible d’être représentée par un nombre.
Les objets et configurations rencontrés dans ce thème constituent ainsi progressivement un répertoire visuel. Ils pourront être reconnus, combinés et réinvestis dans les dessins plus complexes proposés par la suite, où ils contribueront à faire émerger d’autres relations et concepts mathématiques.
Organisation des situations
La conception des situations joue sur différentes variables didactiques, dont certaines peuvent être maintenues constantes tandis que d’autres varient.
Pour un cardinal fixé, les unités visuelles qui lui sont associées peuvent ainsi changer. Une même quantité — par exemple 4 — peut être donnée à voir par les quatre pieds d’une chaise, les quatre allumettes formant un carré ou encore une constellation de quatre points.
La nature des éléments, leur forme ou leur organisation perceptive varient, tandis que leur cardinal reste identique. Ce jeu entre constance du cardinal et variation des représentations permet de travailler la reconnaissance d’une même quantité au-delà des caractéristiques particulières de ce qui la donne à voir.
D’autres variables peuvent également intervenir : disposition spatiale, degré de structuration de la configuration, homogénéité ou hétérogénéité des éléments, familiarité de la représentation, possibilité de regroupements, etc.
Des familles de représentations
Les ressources sont organisées en familles : objets du quotidien, doigts, constellations de points, configurations de comptage, constructions géométriques, allumettes, etc.
Ce classement permet de stabiliser temporairement certaines caractéristiques perceptives et d’explorer les régularités propres à une famille de représentations. Certaines configurations peuvent ainsi devenir familières et constituer progressivement un répertoire mobilisable par l’élève.
Les constellations de points ou certaines configurations de comptage se prêtent notamment au travail de reconnaissance rapide des quantités (subitizing) et à leur structuration.
À l’inverse, confronter des familles très différentes pour un même cardinal permet de travailler la généralisation : reconnaître une même quantité malgré la diversité de ce qui la donne à voir.
Ces deux démarches sont complémentaires : stabiliser certaines représentations pour apprendre à les reconnaître et à les structurer ; les faire varier pour apprendre à s’en détacher.