Questions didactiques et travaux en cours
HowMany repose sur des choix de conception qui peuvent être explicités : organisation des images, variation des représentations, stabilité de certaines consignes, mise en relation avec des écritures mathématiques, progression entre différentes familles de situations, etc.
Les effets de ces choix sur l'activité et les apprentissages des élèves ne peuvent cependant pas être déduits de leur seule conception.
Ce document rassemble donc des questions didactiques qui accompagnent le développement du projet. Il distingue ce que les situations sont conçues pour permettre, ce que l'on peut observer dans les usages et ce qui demanderait à être étudié plus systématiquement.
Il ne s'agit pas de présenter comme établis des effets qui restent à documenter.
Des images conçues pour être opératoires
HowMany propose des représentations visuelles dont l'organisation cherche à offrir des prises à l'activité mathématique.
Dans le cadre du projet, nous pouvons qualifier ces représentations d'images opératoires : des images conçues non seulement pour montrer une situation, mais pour permettre d'agir mathématiquement sur ce qui est perçu — identifier des quantités, des structures, des relations ou des propriétés ; organiser, regrouper, décomposer, comparer, mettre en relation, anticiper — et, par cette activité, construire progressivement le sens des notions mathématiques mobilisées.
Cette expression décrit ici une intention de conception. Elle ne signifie pas que l'image produise par elle-même le raisonnement ou la compréhension de l'élève.
Une première question de recherche apparaît donc :
dans quelles conditions l'organisation d'une image devient-elle effectivement un support de raisonnement et de compréhension pour l'élève ?
Certaines organisations visuelles semblent offrir des prises particulièrement fortes : groupements, répétitions, symétries, alignements, décompositions perceptibles ou configurations déjà familières. Mais leur présence dans l'image ne garantit pas qu'elles soient repérées ni mobilisées mathématiquement.
L'écart entre ce que le concepteur rend perceptible et ce que l'élève perçoit et utilise effectivement constitue ainsi un objet important d'observation.
Image proposée et activité de l'élève
Une situation HowMany fournit une représentation externe déjà construite.
Il importe donc de ne pas confondre l'organisation mathématique intentionnellement inscrite dans l'image avec les représentations et raisonnements effectivement construits par l'élève.
Selon les situations, l'image peut chercher à orienter vers une lecture relativement stable. Dans d'autres cas, plusieurs organisations, décompositions ou stratégies sont volontairement possibles.
Cette différence conduit à interroger le degré d'ouverture souhaitable des situations.
Quand est-il pertinent de chercher à installer une lecture commune et rapidement reconnaissable ? Quand faut-il au contraire préserver plusieurs interprétations mathématiques possibles ? Comment distinguer une pluralité féconde de stratégies d'une difficulté à identifier la structure visée ?
Le degré d'univocité ou d'ouverture d'une représentation peut ainsi être envisagé comme une dimension de la conception didactique.
Percevoir, comprendre et construire du sens
L'une des ambitions centrales de HowMany est de contribuer à donner du sens aux fondamentaux mathématiques en prenant appui sur l'image.
Cette ambition conduit cependant à distinguer plusieurs niveaux.
Un élève peut reconnaître une configuration sans nécessairement comprendre les relations mathématiques qu'elle porte. Il peut également obtenir un résultat correct à partir d'une procédure efficace sans être en mesure d'expliciter l'organisation de la situation.
Inversement, une hésitation ou une procédure plus longue peut révéler un travail de structuration intéressant.
La seule réussite à la question posée ne suffit donc pas nécessairement à renseigner sur la compréhension construite.
Cela conduit notamment à interroger ce que l'on souhaite observer : résultat obtenu, stratégie utilisée, éléments de l'image mobilisés, regroupements effectués, verbalisation, écriture produite, capacité à reconnaître la même relation dans une autre configuration, etc.
La question n'est donc pas seulement de savoir si l'élève réussit, mais aussi ce qu'il comprend de la situation et sur quoi repose cette compréhension.
Modéliser à partir d'une situation visuelle
La modélisation occupe une place importante dans la réflexion HowMany.
Dans les situations les plus élémentaires, elle peut commencer par la sélection d'une caractéristique quantitative pertinente : considérer, par exemple, les pieds d'une chaise plutôt que l'objet « chaise » dans sa globalité et associer cette organisation à un nombre.
Dans des situations plus complexes, l'élève peut être conduit à identifier des groupes, des relations, des répétitions ou des décompositions et à leur donner une forme mathématique.
Toutes les réponses apportées à une image ne constituent cependant pas automatiquement une activité de modélisation.
Une question importante consiste donc à déterminer quelles opérations de mathématisation sont effectivement suscitées par les différentes familles de situations : sélectionner des informations pertinentes, identifier des unités, organiser des quantités, établir des relations, produire une écriture ou interpréter mathématiquement une organisation visuelle.
Cette analyse permettrait notamment de mieux caractériser la place de la modélisation dans HowMany sans la réduire à la production d'une réponse numérique.
Stabiliser et faire varier les représentations
Le corpus HowMany repose largement sur un jeu entre stabilité et variation.
Certaines configurations sont répétées afin de devenir reconnaissables et de constituer progressivement un répertoire. À d'autres moments, une même quantité, une même relation ou une même propriété est présentée à travers des objets et des organisations différentes.
Cette variation vise notamment à éviter qu'une notion mathématique reste attachée à une seule apparence.
Mais la variation soulève elle-même plusieurs questions.
À quel moment une représentation est-elle suffisamment familière pour pouvoir être mise en variation ? Quelles caractéristiques peuvent changer sans rendre la situation inutilement difficile ? Quelles variations favorisent la reconnaissance d'une structure commune ? À l'inverse, certaines variations peuvent-elles masquer la relation que l'on cherche à faire apparaître ?
La variation n'est donc pas considérée comme bénéfique par principe.
L'enjeu est d'étudier ce qui doit être momentanément stabilisé et ce qui peut être mis en variation en fonction de l'objectif mathématique poursuivi.
Du répertoire visuel à la généralisation
La fréquentation régulière de certaines configurations peut conduire à la constitution d'un répertoire de repères visuels : doigts, constellations, cartes, groupements, organisations régulières, objets composés, etc.
L'un des enjeux est de déterminer dans quelle mesure ce répertoire devient effectivement mobilisable au-delà des situations dans lesquelles il a été construit.
Reconnaître rapidement une configuration connue constitue une première forme de disponibilité.
Mais une question plus exigeante concerne le transfert : l'élève reconnaît-il une même organisation mathématique lorsque l'apparence change ? Peut-il utiliser une relation rencontrée dans une famille d'images pour interpréter une situation différente ? Peut-il mobiliser cette organisation en l'absence de l'image initiale ?
La généralisation ne peut donc pas être assimilée à la seule multiplication des représentations.
Elle suppose d'étudier dans quelles conditions l'élève parvient à se détacher de certaines caractéristiques perceptives pour reconnaître une structure ou une relation mathématique commune.
De l'image aux représentations symboliques
HowMany cherche également à mettre les situations visuelles en relation avec des représentations plus formelles : nombres, décompositions, opérations ou expressions.
L'image peut fournir un support pour donner du sens à une écriture. Inversement, une écriture peut conduire à revenir vers l'image pour rechercher la manière dont elle traduit une organisation perçue.
Ce passage soulève plusieurs questions.
À quel moment introduire l'écriture ? Doit-elle être proposée, produite ou discutée ? Dans quelles situations l'image suffit-elle momentanément au raisonnement ? Quand une verbalisation, un schéma ou une écriture intermédiaire devient-il utile ?
Dans certaines situations, les images proposées peuvent constituer elles-mêmes des supports de raisonnement mathématique sans nécessiter systématiquement une formalisation intermédiaire supplémentaire.
L'enjeu n'est donc pas de faire disparaître l'image le plus rapidement possible au profit du symbole, mais d'étudier les relations que l'élève peut construire entre différentes formes de représentation.
Répéter sans réduire l'activité à une procédure
HowMany utilise la répétition : répétition d'une consigne, d'une famille de configurations, d'une relation mathématique ou de situations partageant certaines caractéristiques.
Mais ce qui est répété n'est pas nécessairement une procédure identique.
Une consigne stable peut accompagner des images très différentes. Une même quantité peut apparaître sous plusieurs formes. Une relation peut être rencontrée dans des organisations nouvelles. Une même image peut parfois conduire à plusieurs stratégies.
Cette conception conduit à interroger la fonction de la répétition.
Que devient progressivement plus rapide ou plus disponible : un résultat, une configuration, une stratégie, une relation, une manière d'organiser ce qui est perçu ?
L'automatisation recherchée ne concerne donc pas nécessairement le seul calcul.
Elle peut également porter sur la reconnaissance de certaines structures ou sur la disponibilité de relations permettant ensuite de libérer des ressources pour des raisonnements plus complexes.
Il reste néanmoins nécessaire d'être attentif à un risque : reconnaître rapidement une apparence n'est pas nécessairement comprendre la relation mathématique qu'elle représente.
La stabilité de la consigne
La stabilité et la brièveté de la question constituent une caractéristique importante de nombreuses situations HowMany.
Ce choix vise notamment à installer un cadre de tâche rapidement identifiable afin que les variations portent principalement sur les situations mathématiques proposées.
Il serait cependant excessif d'en déduire directement que cette stabilité réduit nécessairement la charge cognitive ou améliore les apprentissages.
Ces effets constituent des hypothèses à examiner.
On peut notamment se demander si une consigne devenue familière permet effectivement à l'élève de consacrer davantage d'attention à l'organisation mathématique de l'image, mais aussi dans quelles situations cette stabilité peut devenir insuffisante ou nécessiter une intervention complémentaire de l'enseignant.
Observer les stratégies plutôt que les seules réponses
Une partie importante du potentiel didactique des situations apparaît dans la manière dont les élèves les traitent.
Deux élèves peuvent produire la même réponse à partir d'organisations très différentes. Une erreur peut révéler une interprétation particulière de l'image. Une procédure inattendue peut mettre en évidence une relation que le concepteur n'avait pas anticipée.
L'observation peut donc porter notamment sur les éléments regardés ou désignés, les regroupements réalisés, les décompositions utilisées, les stratégies successives, les écritures produites, les erreurs et leur évolution, ainsi que les explications données lors des échanges.
Ces observations peuvent à leur tour conduire à modifier les images, leur ordre, leurs paramètres ou les modalités d'utilisation.
Le développement du corpus peut ainsi s'inscrire dans un processus d'aller-retour entre conception, expérimentation, observation et révision.
Des questions qui accompagnent le développement du projet
Les questions formulées dans ce document ne constituent pas une liste définitive.
Elles permettent surtout de maintenir une distinction nécessaire entre :
- ce qui est conçu : les caractéristiques effectivement présentes dans les situations HowMany ;
- ce qui est visé : les activités et apprentissages que ces choix cherchent à favoriser ;
- ce qui est observé : les stratégies, productions et comportements effectivement constatés dans les usages ;
- ce qui reste à établir : les effets sur la compréhension, la généralisation, le transfert, l'automatisation ou les apprentissages à plus long terme.
Cette distinction constitue un principe important pour la poursuite du projet.
HowMany peut ainsi être envisagé non seulement comme un corpus de situations pédagogiques, mais également comme un objet de réflexion et d'expérimentation didactiques, dont les choix de conception peuvent être progressivement interrogés, documentés et ajustés à partir des usages.