L'image comme support de raisonnement
Dans HowMany, l'image n'est pas conçue comme une simple illustration d'un contenu mathématique. Elle constitue le support même de la situation proposée à l'élève.
La question « Combien de… ? » invite à observer cette situation, à identifier ce qui doit être pris en compte, à organiser les éléments perçus et à mobiliser des relations mathématiques pour produire une réponse.
L'enjeu n'est donc pas seulement de voir une image, mais d'apprendre progressivement à y porter un regard mathématique.
Une image n'est pas un objet concret
Les situations HowMany représentent fréquemment des objets familiers : chaises, doigts, allumettes, cartes, dés, crayons, roues, objets géométriques, etc.
Cette proximité avec l'environnement quotidien ne doit cependant pas conduire à confondre l'image et l'objet réel.
Une chaise dessinée n'est pas une chaise manipulable. Une collection représentée à l'écran n'est pas une collection matérielle que l'élève peut déplacer physiquement.
Les situations HowMany relèvent donc de la représentation visuelle. Les objets familiers constituent un vocabulaire immédiatement reconnaissable, mais leur choix et leur organisation répondent à une intention mathématique.
L'objet quotidien n'est pas le but de l'image : il en constitue le vocabulaire visuel. La syntaxe, elle, est mathématique.
Voir autre chose que l'objet représenté
Une même image peut être envisagée de différentes manières selon la question posée.
Une chaise peut être perçue comme un objet unique, mais la question « Combien de pieds ? » conduit à porter l'attention sur certains de ses éléments. Un ensemble de cartes peut inviter à considérer les cartes elles-mêmes, leurs symboles, leur nombre ou leur organisation. Une construction d'allumettes peut être appréhendée comme une figure globale ou comme une composition de segments organisés.
L'activité mathématique suppose ainsi de sélectionner, dans ce qui est donné à voir, les éléments et les relations pertinents pour la situation.
Ce passage constitue déjà, dans certaines situations très élémentaires, un premier pas vers la modélisation : l'élève ne traite pas l'objet dans toute sa réalité, mais en sélectionne certaines caractéristiques pour leur donner une interprétation mathématique. Voir une chaise et considérer « quatre pieds » revient ainsi à passer d'un objet représenté à une caractéristique quantitative susceptible d'être traitée mathématiquement.
Il ne s'agit évidemment que d'une forme très élémentaire de mathématisation. Dans des situations plus complexes, l'élève peut être amené à sélectionner des informations, identifier des unités, reconnaître des groupes ou des relations, puis à les traduire par des nombres, des opérations ou des expressions.
Ce passage est important dans HowMany : percevoir un objet ne suffit pas nécessairement à déterminer ce qu'il faut mathématiser.
L'élève est amené à distinguer ce qui est représenté de ce qui doit être dénombré, comparé, regroupé, mis en relation ou représenté mathématiquement.
Des représentations visuelles structurées
Les images HowMany ne cherchent pas nécessairement à reproduire fidèlement une situation réelle. Elles sont conçues et organisées afin que certaines propriétés quantitatives ou relations mathématiques puissent devenir perceptibles.
La disposition spatiale, les regroupements, les répétitions, les alignements, les symétries, les compositions ou encore la proximité entre certains éléments peuvent ainsi participer à la lecture de la situation.
Deux images contenant le même nombre d'éléments ne proposent donc pas nécessairement la même activité perceptive ou mathématique.
Une collection désordonnée peut conduire à un comptage élément par élément. Une organisation connue peut permettre une reconnaissance plus rapide. Une disposition en groupes peut favoriser une décomposition ou une stratégie multiplicative. Une configuration plus complexe peut conduire à combiner plusieurs relations.
La conception visuelle fait ainsi partie intégrante de la conception didactique de la situation.
Des images pour agir mathématiquement
L'organisation des images HowMany ne vise pas seulement à rendre certaines quantités ou relations plus perceptibles. Elle cherche à offrir à l'élève des prises pour agir mathématiquement sur ce qui est représenté.
Selon les situations, l'image peut permettre d'identifier une quantité ou une unité pertinente, de reconnaître une organisation, de regrouper, décomposer ou recomposer des éléments, de comparer des quantités, d'anticiper un résultat ou encore de mobiliser une relation ou une propriété mathématique.
Certaines images cherchent ainsi à rendre plus accessibles des organisations fondamentales, par exemple celles de la numération de position ou de la multiplication. D'autres proposent une situation dont le traitement nécessite de mobiliser des faits numériques, des opérations ou des propriétés. D'autres encore permettent de mettre en relation une organisation visuelle avec une écriture symbolique : un regroupement perceptible peut, par exemple, donner un appui pour interpréter le rôle de parenthèses dans une expression.
Dans ce dossier, nous pouvons qualifier de telles représentations d'images opératoires : des images dont l'organisation est pensée pour soutenir une activité mathématique portant sur ce qui est perçu.
Le caractère opératoire ne réside cependant pas dans l'image seule. Une organisation visuelle offre des possibilités d'action et de raisonnement ; leur mobilisation dépend de la question posée, des connaissances de l'élève et de l'activité qu'il développe à partir de la situation.
Représentation proposée et représentation produite
Le terme représentation peut désigner des réalités différentes en mathématiques scolaires.
L'élève peut produire une représentation pour traduire ou traiter une situation : dessin, schéma, tableau, diagramme, groupement, écriture numérique ou expression mathématique.
Dans HowMany, le point de départ est différent : une représentation visuelle est d'abord proposée à l'élève.
Cette représentation n'a pas vocation à remplacer les schémas ou les autres productions de l'élève. Elle constitue un support à partir duquel celui-ci peut observer, organiser, raisonner, verbaliser et, selon les situations, produire ensuite d'autres représentations.
Dans certaines situations, l'image proposée peut elle-même fournir suffisamment de structure pour soutenir le raisonnement mathématique, sans nécessiter systématiquement la production préalable d'un schéma supplémentaire.
Dans d'autres, une reformulation, une annotation, une manipulation, un schéma ou une écriture intermédiaire peuvent au contraire devenir utiles.
Il ne s'agit donc pas d'opposer image et schéma, mais d'interroger le rôle que chaque représentation peut jouer dans l'activité mathématique.
De l'image vers les écritures mathématiques
Les situations visuelles peuvent conduire à différentes formes de formalisation.
Une configuration peut être associée à un nombre, une décomposition, une opération ou une expression numérique. Une organisation perceptive peut être décrite verbalement avant d'être traduite symboliquement. Plusieurs écritures peuvent parfois rendre compte d'une même situation.
Le passage de l'image à l'écriture mathématique ne doit cependant pas être envisagé comme une traduction automatique.
Entre ce qui est vu et ce qui est écrit intervient une activité d'interprétation : identifier les unités pertinentes, reconnaître une organisation, établir des relations, choisir une manière de décomposer ou de calculer.
C'est précisément cet espace entre perception et formalisation que les situations HowMany cherchent à mettre au travail.
Cette attention portée à la diversité des représentations et à leur mise en relation peut être rapprochée des travaux de Raymond Duval sur les représentations sémiotiques en mathématiques. Ceux-ci conduisent notamment à distinguer les objets mathématiques de leurs représentations et à accorder une importance particulière aux relations entre différents systèmes de représentation.
Ce rapprochement ne conduit cependant pas à considérer toute image ou toute écriture utilisée dans HowMany comme constituant à elle seule un registre de représentation au sens de cette théorie. Il invite plutôt à interroger les relations que l'élève construit entre ce qu'il perçoit, ce qu'il organise et les représentations mathématiques qu'il mobilise.
Image proposée et interprétation mathématique
Une image HowMany est une représentation externe conçue et organisée en fonction d'une intention didactique. Son organisation peut orienter plus ou moins fortement la manière dont la situation est interprétée.
Dans certaines situations, l'objectif est de faire construire une lecture mathématique suffisamment stable et partagée. Les images consacrées à la numération de position peuvent, par exemple, être organisées de manière à rendre progressivement identifiable une même structure : centaines, dizaines puis unités. La régularité de cette organisation vise alors à installer des repères visuels communs et à favoriser une interprétation de plus en plus immédiate de la représentation.
Dans d'autres situations, plusieurs lectures ou décompositions d'une même image peuvent au contraire être mathématiquement pertinentes. C'est notamment le cas lorsque l'on cherche à travailler le calcul réfléchi ou les expressions numériques : une même organisation visuelle peut donner lieu à différentes stratégies, décompositions ou écritures. Leur explicitation et leur confrontation font alors partie de l'activité mathématique recherchée.
Le degré d'ouverture d'une image n'est donc pas nécessairement une limite de la représentation. Il peut constituer un choix didactique : certaines situations cherchent à stabiliser une lecture commune ; d'autres sont conçues pour rendre possibles plusieurs stratégies et permettre leur comparaison.
Dans tous les cas, il convient de distinguer l'organisation visuelle effectivement proposée de l'activité que l'élève développe à partir d'elle. La conception de l'image permet d'orienter cette activité, parfois très fortement, sans pour autant rendre directement observable l'ensemble des raisonnements mobilisés par l'élève.
Une médiation à articuler avec d'autres
L'image n'a donc pas vocation à remplacer la manipulation, le langage, les schémas, les écritures symboliques ou les échanges collectifs.
Elle constitue l'une des médiations possibles entre une situation et les objets mathématiques qui permettent de l'interpréter.
Selon les objectifs et les élèves, une situation HowMany peut être accompagnée de manipulation, de verbalisation, d'annotations, de comparaisons de procédures, de schématisation ou de formalisation.
Le rôle de l'enseignant reste essentiel pour faire expliciter les stratégies, confronter les lectures possibles d'une même situation et mettre en relation les observations avec les connaissances mathématiques travaillées.
L'originalité recherchée par HowMany réside ainsi moins dans le simple recours à l'image que dans la conception systématique de situations visuelles destinées à devenir des supports d'activité et de raisonnement mathématiques.
Repère bibliographique
- Duval, Raymond (1995). Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berne : Peter Lang.