Activité mathématique et progression
Les situations HowMany conduisent généralement à produire une réponse numérique. Cette caractéristique peut donner l'impression que l'activité proposée relève essentiellement du dénombrement ou du calcul mental.
Le résultat attendu ne constitue pourtant qu'une partie de l'activité mathématique recherchée.
Face à une situation visuelle, l'élève peut être amené à identifier ce qui est mathématiquement pertinent, organiser les éléments perçus, reconnaître des relations, choisir une manière de représenter la situation, élaborer une stratégie, produire une écriture puis effectuer éventuellement un calcul.
HowMany cherche ainsi à mobiliser une activité mathématique plus large, dans laquelle modéliser et raisonner occupent une place importante aux côtés du calcul, en s'appuyant sur les représentations visuelles proposées et sur leur mise en relation progressive avec d'autres représentations, notamment symboliques.
De la perception à la mathématisation
Une situation HowMany est d'abord donnée à voir. Mais l'image proposée n'est pas conçue comme une simple illustration : son organisation cherche à offrir des prises à l'activité mathématique de l'élève.
Dans ce dossier, nous pouvons qualifier ces représentations d'images opératoires : des images conçues non seulement pour montrer une situation, mais pour permettre d'agir mathématiquement sur ce qui est perçu — identifier des quantités, des structures, des relations ou des propriétés ; organiser, regrouper, décomposer, comparer, mettre en relation, anticiper — et, par cette activité, construire progressivement le sens des notions mathématiques mobilisées.
Cette expression constitue ici une formulation propre au projet. Elle ne signifie pas que l'image réalise à elle seule les opérations intellectuelles de l'élève. Elle désigne plutôt une représentation visuelle dont la conception cherche à rendre certaines structures accessibles et mobilisables pour le raisonnement.
Cette distinction est importante. L'image reste une représentation externe proposée à l'élève ; l'activité mathématique, elle, appartient à l'élève. Une même image peut ainsi fournir des points d'appui à différents raisonnements sans déterminer entièrement ceux qui seront effectivement construits.
Voir les objets représentés ne suffit donc pas nécessairement à résoudre la situation. L'élève doit déterminer ce qui, dans cette représentation, est mathématiquement pertinent.
Cette sélection peut être très élémentaire : considérer les quatre pieds d'une chaise plutôt que la chaise comme objet unique, ou reconnaître les quatre allumettes constituant une figure...
Elle peut également devenir plus complexe : distinguer plusieurs groupes, identifier une répétition, reconnaître une organisation multiplicative, percevoir une décomposition avantageuse ou mettre en relation différentes parties d'une configuration.
L'activité consiste alors à passer progressivement de :
« ce que je vois »
à :
« ce que je peux organiser, mettre en relation et traiter mathématiquement ».
L'image constitue ainsi un support entre perception et mathématisation : elle donne à voir une situation dont certaines caractéristiques ont été intentionnellement organisées pour pouvoir devenir objets de raisonnement.
Premiers pas vers la modélisation
Dans ce cadre, certaines situations peuvent être envisagées comme de premiers exercices de modélisation.
Modéliser ne consiste pas seulement à calculer à partir de données déjà organisées. Il faut d'abord sélectionner, dans une situation, les informations ou les relations pertinentes et leur donner une forme permettant un traitement mathématique.
Les premières situations HowMany peuvent engager ce processus de manière volontairement simple.
Associer un nombre à certaines caractéristiques d'un objet suppose déjà de ne pas retenir toutes les propriétés de cet objet. Une chaise possède une couleur, une forme, une taille et de nombreuses autres caractéristiques ; selon la question posée, l'activité peut conduire à n'en retenir momentanément qu'une organisation quantitative, par exemple ses quatre pieds.
Dans des situations ultérieures, cette mathématisation peut porter sur des organisations plus complexes : groupes répétés, décompositions additives, relations entre plusieurs quantités, structures géométriques ou différentes manières de traduire numériquement une même configuration.
Le dessin constitue alors un point de départ à partir duquel l'élève est invité à sélectionner, organiser et représenter mathématiquement une situation.
Organiser pour raisonner
Une fois les éléments pertinents identifiés, plusieurs stratégies peuvent devenir possibles.
L'élève peut compter, reconnaître directement certaines quantités, regrouper, décomposer, recomposer, comparer, compléter, utiliser un double, reconnaître une organisation répétée ou mobiliser une relation déjà connue.
L'enjeu n'est donc pas uniquement :
« Quel est le résultat ? »
mais également :
« Comment l'organisation de la situation permet-elle de le déterminer ? »
Cette distinction est particulièrement importante lorsque plusieurs procédures sont possibles.
Une même quantité peut être décomposée de différentes manières. Une configuration multiplicative peut être organisée selon plusieurs regroupements. Une situation complexe peut conduire à plusieurs expressions numériques correspondant à différentes lectures de l'image.
L'activité de raisonnement réside alors aussi dans la capacité à établir des relations entre ces différentes organisations.
Représenter
L'image proposée par HowMany constitue elle-même une représentation, mais l'activité peut conduire l'élève à en produire ou à en mobiliser d'autres.
Il peut verbaliser une organisation, entourer des groupes, annoter l'image, effectuer un dessin intermédiaire, utiliser un schéma, écrire un nombre, une opération ou une expression.
L'enjeu est alors de mettre en relation plusieurs manières de représenter une même situation mathématique.
Ces représentations n'ont pas nécessairement la même fonction. Certaines permettent de rendre une organisation plus perceptible ; d'autres de communiquer une stratégie ; d'autres encore de généraliser ou de formaliser une relation.
HowMany cherche ainsi à favoriser des circulations entre représentation visuelle, verbalisation, organisation mathématique et écriture symbolique.
Passer à l'écriture symbolique
Le passage à l'écriture mathématique constitue l'un des enjeux des situations visuelles.
Une organisation perçue peut être associée à un nombre, une décomposition, une opération ou une expression numérique. La représentation symbolique permet alors de formaliser mathématiquement une organisation préalablement identifiée.
Par exemple, un regroupement visuel peut être traduit par une addition ; une répétition de groupes par une multiplication ; une organisation en centaines, dizaines et unités par différentes écritures d'un nombre ; une configuration complexe par plusieurs expressions numériques.
Mais le travail peut également s'effectuer dans l'autre sens.
Une écriture peut être confrontée à une image afin de rechercher ce qu'elle représente dans la situation. Plusieurs écritures peuvent être comparées à une même configuration afin d'étudier différentes manières d'en rendre compte.
Il ne s'agit donc pas seulement d'aller de l'image vers le symbole, mais d'établir progressivement des relations entre ces représentations.
Calculer sans réduire l'activité au calcul
Le calcul occupe une place réelle dans HowMany.
Il peut être nécessaire pour déterminer une quantité, vérifier une décomposition, comparer plusieurs stratégies ou obtenir le résultat associé à une organisation reconnue.
Mais le calcul n'est pas toujours le point de départ de l'activité.
Dans de nombreuses situations, une partie essentielle du travail intervient en amont : comprendre ce qui est représenté, identifier les quantités pertinentes, choisir une organisation et construire une stratégie.
Le calcul devient alors l'un des moyens permettant de traiter la situation mathématiquement.
Cette distinction permet notamment de ne pas confondre une réponse correcte avec la compréhension de la situation qui l'a produite.
HowMany peut ainsi utiliser certains mécanismes d'entraînement et de répétition sans réduire l'activité à la reproduction d'une procédure de calcul.
Construire un répertoire de configurations et de relations
La fréquentation de situations visuelles permet également de travailler la reconnaissance de certaines configurations.
Doigts, constellations de points, cartes, organisations régulières, groupements ou objets composés peuvent devenir progressivement familiers.
Ce répertoire ne vise pas à associer définitivement un nombre ou une notion à une image unique.
Il fournit plutôt des points d'appui susceptibles d'être reconnus, comparés, transformés ou réinvestis dans d'autres situations.
Une configuration connue peut ainsi aider à en interpréter une nouvelle. Un groupement rencontré dans une activité de dénombrement peut être réinvesti dans une situation additive ou multiplicative. Une décomposition devenue familière peut servir ensuite de support au calcul réfléchi.
La progression repose ainsi à la fois sur la stabilisation de certains repères et sur leur mobilisation dans des contextes visuels différents.
Comprendre et automatiser
L'attention portée à la modélisation, à la représentation et au raisonnement ne conduit pas à opposer compréhension et automatisation.
Certaines relations peuvent d'abord être observées, explicitées, décomposées ou représentées avant de devenir progressivement plus disponibles.
L'automatisation peut concerner un résultat numérique, mais également la reconnaissance d'une configuration, d'un groupement ou d'une relation utile.
Il n'est pas nécessaire que l'élève reconstruise explicitement chaque relation à chaque nouvelle situation.
L'un des enjeux de l'apprentissage est précisément que certaines connaissances et certains repères deviennent suffisamment disponibles pour pouvoir être mobilisés dans des raisonnements plus complexes.
La répétition peut donc avoir plusieurs fonctions selon le moment : découvrir, comparer, structurer, consolider ou automatiser.
Une progression qui ne se réduit pas à la taille des nombres
La difficulté d'une situation HowMany ne dépend pas uniquement du cardinal ou de la complexité du calcul final.
Elle peut également dépendre de l'organisation visuelle, du nombre de relations à identifier, de la familiarité de la configuration, des regroupements possibles, du nombre d'étapes nécessaires au raisonnement ou encore du degré de formalisation attendu.
Une situation utilisant de petits nombres peut ainsi engager un raisonnement complexe.
À l'inverse, une quantité plus importante peut parfois être traitée rapidement lorsqu'elle est organisée selon une structure familière.
La progression peut donc porter simultanément sur plusieurs dimensions :
- les nombres et les objets mathématiques rencontrés ;
- la complexité des organisations visuelles ;
- les stratégies mobilisables ;
- les relations à identifier ;
- les représentations à mettre en correspondance ;
- le degré de formalisation attendu.
Une progression en réseau
Les ressources HowMany ne constituent pas un parcours unique que tous les élèves devraient suivre dans un ordre strictement déterminé.
Les thèmes peuvent être mobilisés selon les notions travaillées, les connaissances déjà disponibles, les besoins des élèves et les objectifs de l'enseignant.
Il existe cependant des relations entre eux.
Les premiers objets et configurations peuvent constituer un répertoire qui sera ensuite combiné dans des dessins plus complexes. Des stratégies développées dans une situation peuvent être réinvesties ailleurs. Des organisations utilisées pour dénombrer peuvent devenir des supports pour comprendre une opération, puis pour calculer ou formaliser une relation.
La progression peut ainsi être envisagée comme un réseau de situations, de représentations et de relations mathématiques dans lequel certaines connaissances construites à un endroit deviennent des ressources pour d'autres activités.
Verbaliser et confronter les stratégies
L'activité ne s'achève pas nécessairement avec la réponse individuelle.
Une situation visuelle constitue également un support partagé permettant de montrer ce que l'on a vu, d'expliquer une décomposition, de désigner un groupement ou de confronter plusieurs stratégies.
Lorsque plusieurs procédures sont possibles, leur verbalisation peut permettre de comparer différentes manières de mathématiser la même situation.
L'enseignant peut alors mettre en relation les stratégies proposées, les représentations utilisées et les écritures mathématiques correspondantes.
Cette dimension collective permet de ne pas réduire l'activité à une succession de réponses individuelles et donne une place à l'explicitation et à la communication mathématiques.
Une activité mathématique plus large que la réponse attendue
La forme la plus visible d'une situation HowMany reste volontairement simple : une image, une question courte et une réponse à produire.
Cette simplicité ne préjuge cependant pas de la richesse de l'activité qui peut se développer pour parvenir à cette réponse.
Selon les situations, l'élève peut être conduit à :
observer → sélectionner → organiser → modéliser → représenter → raisonner → formaliser → calculer → communiquer.
Il ne s'agit pas d'une succession obligatoire d'étapes. Ces activités peuvent se combiner, intervenir dans un autre ordre ou prendre une importance différente selon la situation.
Cette diversité constitue précisément l'un des enjeux du dispositif : faire de la question « Combien de… ? » le point d'entrée d'une activité mathématique qui ne se réduit pas à calculer.